正五角形の面積 - alchemist_380 のひとりごと

本日見つけたネタ、ふたつ。

（その1）

韓国最大野党・共に民主党が李在明（イ・ジェミョン）代表や党に関する虚偽事実を流布したユーチューバーらを告発した･･･というニュース。翻訳した人、しっかりしてくださいね。「虚偽なのか、事実なのか、どっちなんだい」の状態になってますよ。「虚偽情報」とか書けばよかったのにね、と、私は書いておきますが、赤字のように書きたい気持ちは分からないでもないです。

（その2）

「どんなお酒が好みですか？」「私はワイン派です」　この会話、英語だと "What do you drink?" "I'm a wine person."　になるんだそうです。自分の嗜好を言うときの英語表現は "I'm a(an) ～ person." なんだって。「夜型人間」は "nightperson" で「猫派・犬派」は "cat/dog person" ･･･あれれ･･･何だかおかしくなってきたぞ～。元・水の分析屋さんなら、夜遊び好きなの？　とか、ネコなの？とか、あり得ない勘違いをしそうです。楽しければ、あるいは、かわいければ、それでいいですけどね。

＼(･＿＼)それは(／＿･)／おいといて、今回は正五角形の面積を計算してみましょう。

三つの二等辺三角形の面積から求める方法

「△ABE の高さ h₂ が分かりさえすれば」いけるはずの方法です。実は、ふつうの中学生はあきらめてしまうけど、難関校を目指すような頑張り屋さんなら、やってみればいいレベルの計算です。大昔の受験生による評価で申し訳ないですが、見かけよりは簡単だと思います。

前回書いてしまうかどうか迷ったのですが、「sin 36° なんてものを知らない」中学生が三平方の定理で立ち向かう計算は、「cos 36° の値（Φ/2）から sin 36° を求める」のと全く同じです。三角函数を習った高校生向きに言い換えているだけです･･･というわけで恐るるに足らず、計算を先に進めましょう。

「1+√5」を根号の中に入れるところが面倒ですが、「10-2√5」を「2 (5-√5)」とすれば係数が大きく育つこともなく計算できます。では、（2+Φ）倍の計算と参りましょう。

最後の式は、「一辺の長さが 1の正五角形の面積」ですから、一辺の長さが a の正五角形の場合は、これに a² をかければよろしい！

最後は同じ計算になるけれど･･･

さて、五角形 ABCDE の面積は △ABE の2倍と △ACD の和でした。△ACD の面積は、△ABE の一部になっている二等辺三角形と相似であることから求めましたが、下のような考え方もできます：

二つの三角形 △BCD と △A'CD。底辺 CD が共通で、BE∥CD なので高さも同じ。であるからして、頂点 B を A' までずらすのは等積変換です。次に、頂点 A' を A まで持ち上げると △ACD になるのですが、高さ方向だけ Φ 倍なので面積も Φ 倍。以上により、五角形 ABCDE の面積 △ABC×2+△ACD は (2+Φ)・△ABE に等しい。

二重根号を扱う計算は同じですが、大きい二等辺三角形 △ACD の面積は、こちらの考え方に従った方が分かりやすいかも知れません。「底辺と高さが同じ三角形」を見つけるのは、問題を作る立場の人にとっては、よぉく分かっておいて欲しい考え方だとも思いますし、昔の受験生の目からは「相似比を使っていない」ところが素敵なのです。