正五角形の作図法、二とおり

本を読むという行為の意味、ちょっと考えさせられた記事･･･

本を読むにはそれなりのエネルギーを要します。自分なりに解釈すると、エネルギーを使った分、読んだという事実を記念する品を求めているのだと思います。
文庫本なら1冊せいぜい数百円ですから、数百円で記念品が手に入ると思えば安いものです。購入して自由に線を引き、自分の物にしたほうがいいに決まっています。
また、身銭を切るわけですから、買うときにかなり本を吟味します。そして、買ったからには損をしたくないと思い、本の内容を自分の血肉にしようと、真剣に読むはずです。借りた本では発揮できない集中力でもって読破できるはずです。
ですから、私は国語の教師を目指す学生に向けて、次のようにアドバイスしています。「図書館で本を借りるのもいいよ。でも、国語教師を目指すなら『論語』の文庫本くらいは1冊購入してもいいんじゃないかな。そのくらいの覚悟を持つことが大事だよ」【齋藤孝さん談】〔プレジデントオンライン〕

元・水の分析屋さん、高校生までは学校の図書館に「入り浸り」に近い状態でした。社会人になってからだって、本を買うための出費を惜しんだことはないと思います。結構読んだ方ではないかな。それでも、かつて密かに目指した立派な人たちには全然届いていませんが、とにかく読書は楽しい。もう仕事に追われる身ではありませんから、それを知っているだけで十分です。ちなみに、私のお勧めは「論語」よりも「老子」。覚悟なんかありませんから（≒ ありませんが）、「徒然草」も「枕草子」も捨てがたいし、それから･･･って続けると際限のないことになりそうです（笑）。

今回は正五角形の作図法について。

正五角形の作図法・其の一

「作図」とは、与えられた二点を通る直線を引く「定規」と、与えられた点を中心として与えられた半径の円を描く「コンパス」、その二つだけを用いて特定の条件を満たす図形を描くことです。つまり、自由に使える図形は直線と円だけです。厳しいのぉ。

まずは、円に内接する正五角形を作図しましょう。最初に、直交する二直線（x,y 軸みたいに）を用意します（直角は作図できるのですから、無茶は言っていません）。そこからはこんな手順で描けます：

(1) 点 O を中心に半径 OA の円を描く。これに内接する正五角形を描こうとしております。

(2) 点 A を中心に同じ半径の円を描き、元の円との交点 B, C を結ぶ。これは線分 OA の垂直二等分線になっており、OA との交点を D とする。

(3) OA に直交した直線（y軸）と円 O の交点を E とする。D を中心に半径 DE の円を描く。直線OA（x軸）との交点を F とする。

(4) E を基点とした半径 EF の弧を描き、円 O を左回り・右回りに円周を刻んで、G, G'、H, H' を得る。

(5) E, G, H, H', G', E と順に結んで正五角形の完成。EF の長さが円 O に内接する正五角形の一辺の長さになっていました。

正五角形の作図法・其の二

今度は、与えられた線分を一辺とする正五角形を作図しましょう。こんな手順です：

(1) 与えられた線分 AB の垂直二等分線 ℓ を描き、AB との交点を L とする。

(2) 点 L から AB の長さだけ離れた点 M を線 ℓ 上にとる。

(3) 線分の一端 B を中心に半径 BM の円を描く。AB を B 側に延長した直線との交点を N とする。

(4) B を中心に半径 LN の円を描き、ℓ との交点を D とする。もう一つ、A を中心に半径 LN の円を描くと、ℓ との交点は D で一致するはず（安いコンパス使ってると、線の太さを考慮してもハズレますよ）。

(5) A, B を中心に半径 AB の弧を描き、(4) で描いた円との交点を C, E とする。A, B, C, D, E, A と順に結んで、期待されていた正五角形の完成。

これらの作図のキモ

前回までの話で「正五角形の一辺と対角線の長さは黄金比」だということはご理解いただけているはず（え～･･･とか思う人は復習してくださいませ）。

α の値には √5 が含まれていましたね。上で紹介した二つの作図法、どちらも「垂直二等分線」が出てきたところで「直角をはさむ二辺の比が 1:2 の直角三角形」を作っていることに気付いていただきたいのです。ここがキモですからね。

其の二の作図法であからさまに見えてきたはずですが、二等辺三角形 DAB, ABE, BCA とか。前回の「二等辺三角形はいくつある？」の ①, ② そのものですね。そういう目線で眺めれば、(3) の図の LN の長さが 1/2 + √5/2 （LB + BN）になっていること、容易に納得できるはずです。